Funktioner och grafer

    Läs koordinater, linjers lutning och skärningspunkter.

    På högskoleprovet: Funktioner beskriver samband och gör det möjligt att tolka både formler och grafer.

    Videogenomgång

    Linjära funktioner

    e1m0h

    Steg 1 · Förstå grunden

    Börja här

    En funktion är en regel som omvandlar ett tal till ett annat. En graf visar sambandet som punkter i en bild.

    Två begrepp att börja med

    x och y
    x anger läget i sidled och y läget i höjdled i ett koordinatsystem.
    f(x)
    Läs ”f av x”. Det är resultatet när du använder talet x i funktionens regel.

    Ett första, enkelt exempel

    Regeln är f(x) = x + 2. Vad är f(3)?

    1. Steg 1: f(3) betyder att du ska använda 3 i stället för x.
    2. Steg 2: Sätt in talet: f(3) = 3 + 2 = 5.
    3. Steg 3: Resultatet är 5. Punkten (3, 5) hör därför till grafen.

    Det här får du lära dig

    • Läsa koordinater och funktionsvärden
    • Förstå k och m i räta linjens ekvation
    • Hitta nollställen och skärningspunkter

    Steg 2 · Lär dig metoden

    Så fungerar det

    Läs ett avsnitt i taget. Skriv gärna av beräkningarna och följ varje mellanled.

    2.1Från värde till punkt

    Ett koordinatsystem har en vågrät x-axel och en lodrät y-axel. Punkten (2, 5) ligger vid x = 2 och y = 5. Origo är punkten (0, 0), där axlarna möts.

    En funktion är en regel som ger exakt ett utvärde för varje tillåtet invärde. f(x) betyder funktionens värde vid x. Om f(x) = 2x + 1 är f(3) = 2 · 3 + 1 = 7.

    En graf visar punkterna (x, f(x)). Läs axlarnas enheter och skalsteg innan du läser av: en ruta behöver inte motsvara en enhet.

    2.2Räta linjer

    En rät linje som inte är lodrät kan skrivas y = kx + m. k är lutningen: förändring i y delad med förändring i x. Positivt k betyder att linjen stiger åt höger; negativt k att den sjunker. m är y-värdet där linjen korsar y-axeln.

    Ett nollställe är ett x-värde där y = 0, alltså där grafen möter x-axeln. Två grafer skär varandra där de har samma x och samma y. Sätt deras uttryck lika och lös ekvationen.

    Om två linjer har samma k men olika m är de parallella och saknar skärningspunkt. En lodrät linje x = a kan inte skrivas y = kx + m.

    Steg 3 · Följ lösta exempel

    Övningsexempel

    Egna exempel som visar hur du kan tänka, ett steg i taget.

    Övningsexempel 1

    Bestäm linjen genom (1, 3) och (3, 7).

    1. Steg 1: Beräkna lutningen: k = (7−3)(3−1)\frac{\left(7 - 3\right)}{\left(3 - 1\right)} = 42\frac{4}{2} = 2.
    2. Steg 2: Sätt in (1, 3) i y = 2x + m: 3 = 2 · 1 + m, alltså m = 1.
    3. Steg 3: Linjen är y = 2x + 1. Kontrollera andra punkten: 2 · 3 + 1 = 7.

    Övningsexempel 2

    Var skär y = 2x + 1 linjen y = −x + 7?

    1. Steg 1: Sätt y-uttrycken lika: 2x + 1 = −x + 7.
    2. Steg 2: Addera x och subtrahera 1: 3x = 6, alltså x = 2.
    3. Steg 3: Sätt in x = 2: y = 2 · 2 + 1 = 5. Skärningspunkten är (2, 5).

    Viktiga regler och formler

    • y = kx + m
    • k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), när x₂ ≠ x₁
    • Nollställe: sätt y = 0. Skärningspunkt: sätt funktionernas värden lika.

    Nybörjartips

    Välj två tydliga punkter långt ifrån varandra när du läser av en linjes lutning.

    Vanliga misstag

    • Byt inte ordning på x och y i ett koordinatpar.
    • m är inte linjens nollställe; det är skärningen med y-axeln.

    Ta med dig

    k beskriver förändringen per steg och m startvärdet vid x = 0.

    Steg 4 · Prova själv

    Kontrollfrågor

    Försök först på egen hand. Visa sedan svaret och jämför hur du tänkte.

    1.Vad är f(4) om f(x) = 3x − 2?

    Visa svar och förklaring på kontrollfråga 1

    3 · 4 − 2 = 12 − 2 = 10.

    2.Vilket nollställe har y = 2x − 6?

    Visa svar och förklaring på kontrollfråga 2

    0 = 2x − 6 ger 2x = 6, alltså x = 3.

    Dags att använda det du lärt dig

    Ta nästa steg i funktioner och grafer med övningar i området.

    Öva på funktioner och grafer