Pythagoras sats

    Beräkna okända sidor och avstånd i rätvinkliga trianglar.

    På högskoleprovet: Pythagoras sats binder ihop längder och hjälper dig hitta diagonaler och avstånd i koordinatsystem.

    Videogenomgång

    Pythagoras sats

    e1m0h

    Steg 1 · Förstå grunden

    Börja här

    Pythagoras sats hjälper dig hitta en sida i en triangel med en rät vinkel. Börja alltid med att hitta vinkeln på 90°.

    Två begrepp att börja med

    Kateter
    De två sidor som möts vid den räta vinkeln.
    Hypotenusa
    Sidan mitt emot den räta vinkeln. Den är längst.

    Ett första, enkelt exempel

    En rätvinklig triangel har kateterna 3 cm och 4 cm. Hur lång är hypotenusan?

    1. Steg 1: Kvadrera de två kateterna: 3² = 9 och 4² = 16.
    2. Steg 2: Addera: 9 + 16 = 25. Det är hypotenusans längd i kvadrat.
    3. Steg 3: Eftersom 5 · 5 = 25 är hypotenusan 25\sqrt{25} = 5 cm.

    Det här får du lära dig

    • Identifiera kateter och hypotenusa
    • Beräkna en saknad sida
    • Använda koordinatavstånd och 3–4–5-triangeln

    Steg 2 · Lär dig metoden

    Så fungerar det

    Läs ett avsnitt i taget. Skriv gärna av beräkningarna och följ varje mellanled.

    2.1En regel för räta vinklar

    En rätvinklig triangel har en vinkel på 90°. De två sidor som möts vid den räta vinkeln kallas kateter. Sidan mittemot den räta vinkeln kallas hypotenusa och är alltid längst.

    Pythagoras sats säger att kateternas kvadrater tillsammans är hypotenusans kvadrat: a² + b² = c². Här är a och b kateter och c hypotenusa.

    Om hypotenusan söks adderar du kvadraterna och tar roten. Om en katet söks subtraherar du den andra katetens kvadrat från hypotenusans kvadrat och tar sedan roten.

    2.2Avstånd och specialtrianglar

    I ett koordinatsystem anger ett punktpar (x, y) läget i sidled och höjdled. Två punkters skillnad i x-led och y-led bildar kateter i en rätvinklig triangel. Den raka sträckan mellan punkterna är hypotenusan.

    Triangeln med sidorna 3, 4 och 5 är rätvinklig eftersom 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Alla skalade varianter, som 6–8–10, fungerar också.

    Steg 3 · Följ lösta exempel

    Övningsexempel

    Egna exempel som visar hur du kan tänka, ett steg i taget.

    Övningsexempel 1

    En rätvinklig triangel har hypotenusan 13 cm och en katet på 5 cm. Bestäm den andra kateten.

    1. Steg 1: Skriv a² + 5² = 13².
    2. Steg 2: Subtrahera 25: a² = 169 − 25 = 144.
    3. Steg 3: Ta den positiva roten eftersom en längd är positiv: a = 144\sqrt{144} = 12 cm.

    Övningsexempel 2

    Beräkna avståndet mellan (1, 2) och (4, 6).

    1. Steg 1: Skillnaden i x-led är 4 − 1 = 3. Skillnaden i y-led är 6 − 2 = 4.
    2. Steg 2: Avståndets kvadrat är 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
    3. Steg 3: Avståndet är 25\sqrt{25} = 5 längdenheter. Det är en 3–4–5-triangel.

    Viktiga regler och formler

    • a² + b² = c², där c är hypotenusan
    • Saknad katet: a = (c2\sqrt{}(c^{2} − b²)
    • Avstånd = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

    Nybörjartips

    Skriv alltid c på sidan mittemot den räta vinkeln innan du sätter in siffror.

    Vanliga misstag

    • Använd bara satsen för rätvinkliga trianglar.
    • Glöm inte att ta kvadratroten i sista steget.

    Ta med dig

    Identifiera hypotenusan först. Addera för den längsta sidan och subtrahera för en katet.

    Steg 4 · Prova själv

    Kontrollfrågor

    Försök först på egen hand. Visa sedan svaret och jämför hur du tänkte.

    1.Kateterna är 6 och 8. Hur lång är hypotenusan?

    Visa svar och förklaring på kontrollfråga 1

    (62\sqrt{}(6^{2} + 8²) = (36\sqrt{}(36 + 64) = 100\sqrt{100} = 10.

    2.Är en triangel med sidorna 5, 12 och 13 rätvinklig?

    Visa svar och förklaring på kontrollfråga 2

    Ja: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².

    Dags att använda det du lärt dig

    Ta nästa steg i pythagoras sats med övningar i området.

    Öva på pythagoras sats