Potenser och potensekvationer

Räkna med exponenter, potenslagar och enkla potensekvationer.

På högskoleprovet: Potenser förkortar stora beräkningar och används för skala, förändring och algebra.

Videogenomgång

Högskoleprovet Potenser Sammanfattning

Danne Jaha

Steg 1 · Förstå grunden

Börja här

En potens är ett kort sätt att skriva upprepad multiplikation. 2³ betyder att du multiplicerar tre tvåor med varandra.

Två begrepp att börja med

Bas: Talet som multipliceras med sig självt. I 2³ är basen 2.
Exponent: Det lilla upphöjda talet. I 2³ anger 3 att det finns tre faktorer.

Ett första, enkelt exempel

Beräkna 2³.

Steg 1: Skriv ut tre faktorer: 2 · 2 · 2.
Steg 2: Multiplicera de första två: 2 · 2 = 4.
Steg 3: Multiplicera med den sista tvåan: 4 · 2 = 8. Alltså är 2³ = 8.

Det här får du lära dig

Förstå bas och exponent
Hantera noll, negativa och rationella exponenter
Lösa enkla potensekvationer

Steg 2 · Lär dig metoden

Så fungerar det

Läs ett avsnitt i taget. Skriv gärna av beräkningarna och följ varje mellanled.

2.1Bas och exponent

I 2³ är 2 bas och 3 exponent. En positiv heltalsexponent anger antalet faktorer: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8. När du multiplicerar potenser med samma bas lägger du ihop exponenterna.

För a ≠ 0 gäller a⁰ = 1. Det följer av $\frac{a^{3}}{a^{3}}$ = 1 = $a^{3-3}$ . En negativ exponent betyder omvänt värde: $a^{-n}$ = $\frac{1}{a^{n}}$ , till exempel $2^{-3}$ = $\frac{1}{8.}$

2.2Bråkexponenter och ekvationer

En rationell exponent är en exponent som kan skrivas som ett bråk. För positiv bas gäller $a^($ $\frac{m}{n}$ ) = (ⁿ√a)^m. Roten ⁿ√a är det positiva tal som upphöjt till n blir a. Till exempel $8^($ $\frac{1}{3}$ ) = 2 eftersom 2³ = 8.

En potensekvation kan ha den okända i basen: x² = 16 ger x = ±4, medan x³ = 8 ger x = 2. Om den okända är exponenten kan du ibland skriva båda leden med samma positiva bas, skild från 1: $2^{x}$ = 8 = 2³ ger x = 3.

Steg 3 · Följ lösta exempel

Övningsexempel

Egna exempel som visar hur du kan tänka, ett steg i taget.

Övningsexempel 1

Beräkna 2⁵ · 2^ $\frac{\left(-2\right)}{2^{2}}$ .

Steg 1: Multiplicera potenserna i täljaren: $2^{5-2}$ = 2³.
Steg 2: Dividera med 2²: $2^{3-2}$ = 2¹.
Steg 3: Beräkna: 2¹ = 2.

Övningsexempel 2

Lös x² = 81 och beräkna $27^($ $\frac{2}{3}$ ).

Steg 1: Eftersom 9² = 81 och (−9)² = 81 får ekvationen två lösningar: x = ±9.
Steg 2: För bråkexponenten börjar vi med kubikroten: $27^($ $\frac{1}{3}$ ) = 3, eftersom 3 · 3 · 3 = 27.
Steg 3: Kvadrera resultatet: $27^($ $\frac{2}{3}$ ) = 3² = 9.

Viktiga regler och formler

$a^{m}$ · $a^{n}$ = $a^{m+n}$
$\frac{a^{m}}{a^{n}}$ = $a^{m-n}$ , a ≠ 0
$(a^{m})^{n}$ = $a^{mn}$
$(ab)^{n}$ = $a^{n}$ · $b^{n}$ . Vid bråkexponenter använder vi positiva baser.

Nybörjartips

Skriv ut potensen som en produkt när du är osäker på en regel.

Vanliga misstag

Exponenterna adderas vid multiplikation med samma bas, inte vid addition.
−3² = −9, medan (−3)² = 9. Parenteserna avgör vad som kvadreras.

Ta med dig

Se vilken bas och vilket räknesätt du har innan du väljer potenslag.

Steg 4 · Prova själv

Kontrollfrågor

Försök först på egen hand. Visa sedan svaret och jämför hur du tänkte.

1.Vad är 5⁰ + $2^{-1}$ ?

Visa svar och förklaring

1 + $\frac{1}{2}$ = 1,5.

2.Lös $3^{x}$ = 81.