Kvadratrötter och rotuttryck

Lär dig kvadrattal och förenkla kvadratrötter.

På högskoleprovet: Kvadratrötter dyker upp i Pythagoras sats, geometri och algebraiska jämförelser.

Videogenomgång

Räkna med kvadratrötter

e1m0h

Steg 1 · Förstå grunden

Börja här

Kvadratroten svarar på frågan: vilket tal, minst noll, ska multipliceras med sig självt för att ge det här värdet?

Två begrepp att börja med

Kvadrat: Ett tal multiplicerat med sig självt: 3² = 3 · 3.
Kvadratrot: Tecknet $\sqrt{}$ betyder kvadratrot. $\sqrt{9}$ = 3 eftersom 3 · 3 = 9.

Ett första, enkelt exempel

Vad är $\sqrt{16}$ ?

Steg 1: Leta efter ett tal som multiplicerat med sig självt blir 16.
Steg 2: Pröva 4: 4 · 4 = 16.
Steg 3: Alltså är $\sqrt{16}$ = 4. Rottecknet ger här det positiva talet.

Det här får du lära dig

Förstå den positiva kvadratroten
Använda kvadrattal och rotlagar
Förenkla rötter och lösa rotekvationer

Steg 2 · Lär dig metoden

Så fungerar det

Läs ett avsnitt i taget. Skriv gärna av beräkningarna och följ varje mellanled.

2.1Vad betyder kvadratrot?

Ett kvadrattal är ett tal som fås när ett heltal multipliceras med sig självt. De första är 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 och 144.

Kvadratroten $\sqrt{a}$ är det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt blir a. Alltså $\sqrt{25}$ = 5. Ekvationen x² = 25 har däremot två lösningar: x = 5 och x = −5.

Bland de reella talen, alltså talen på tallinjen, måste talet under en kvadratrot vara minst noll.

2.2Förenkla och lösa

Bryt ut kvadrattal ur roten: $\sqrt{18}$ = $\sqrt{}(9$ · 2) = $3\sqrt{2}$ . Rotuttryck med samma rot kan sedan samlas: $2\sqrt{2}$ + $3\sqrt{2}$ = $5\sqrt{2}$ .

I en rotekvation står den okända under rottecknet. Isolera roten och kvadrera båda leden. Kontrollera sedan i den ursprungliga ekvationen, eftersom kvadrering kan ge extra, felaktiga lösningar.

Steg 3 · Följ lösta exempel

Övningsexempel

Egna exempel som visar hur du kan tänka, ett steg i taget.

Övningsexempel 1

Förenkla $\sqrt{72}$ .

Steg 1: Hitta en kvadrattalsfaktor: 72 = 36 · 2.
Steg 2: Dela upp roten: $\sqrt{72}$ = $\sqrt{36}$ · $\sqrt{2}$ .
Steg 3: Eftersom $\sqrt{36}$ = 6 blir svaret $6\sqrt{2}$ .

Övningsexempel 2

Lös $\sqrt{}(x$ + 5) = 4.

Steg 1: Kravet under roten är x + 5 ≥ 0, alltså x ≥ −5.
Steg 2: Kvadrera: x + 5 = 4² = 16. Subtrahera 5: x = 11.
Steg 3: Kontrollera: $\sqrt{}(11$ + 5) = $\sqrt{16}$ = 4. Lösningen är giltig.

Viktiga regler och formler

$\sqrt{ab}$ = $\sqrt{a}$ · $\sqrt{b}$ för a, b ≥ 0
$\sqrt{}($ $\frac{a}{b}$ ) = $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ för a ≥ 0 och b > 0
$\sqrt{x^{2}}$ = |x|, det vill säga avståndet från x till noll.

Nybörjartips

Lär dig kvadrattalen upp till 144 så blir många rötter enklare att känna igen.

Vanliga misstag

$\sqrt{}(a$ + b) är i allmänhet inte $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ .
$\sqrt{9}$ är 3, inte ±3.

Ta med dig

Leta efter kvadrattalsfaktorer och kontrollera alltid lösningar efter kvadrering.

Steg 4 · Prova själv

Kontrollfrågor

Försök först på egen hand. Visa sedan svaret och jämför hur du tänkte.

1.Vad är $\sqrt{49}$ ?

Visa svar och förklaring

7, eftersom 7 · 7 = 49.

2.Förenkla $\sqrt{50}$ .