Sannolikhet

    Räkna chanser med utfall, komplement och flera steg.

    På högskoleprovet: Sannolikhet hjälper dig bedöma slumpförsök och räkna möjliga urval systematiskt.

    Videogenomgång

    Högskoleprovet Sannolikhetslära Sammanfattning

    Danne Jaha

    Steg 1 · Förstå grunden

    Börja här

    Sannolikhet beskriver hur stor chans det är att något händer. Vid ett kast med en rättvis sexsidig tärning har alla sex sidor samma chans.

    Två begrepp att börja med

    Utfall
    Ett möjligt resultat, till exempel att tärningen visar 4.
    Gynnsamma utfall
    De resultat du vill räkna chansen för.

    Ett första, enkelt exempel

    Vad är chansen att få en sexa med en rättvis sexsidig tärning?

    1. Steg 1: Det finns sex möjliga resultat: 1, 2, 3, 4, 5 och 6.
    2. Steg 2: Ett av resultaten är en sexa. Det finns alltså ett gynnsamt utfall.
    3. Steg 3: Chansen är 16.\frac{1}{6.} Vi delar 1 gynnsamt utfall med 6 lika sannolika utfall.

    Det här får du lära dig

    • Räkna möjliga och gynnsamma utfall
    • Använda komplement och oberoende
    • Arbeta med träddiagram och enkla kombinationer

    Steg 2 · Lär dig metoden

    Så fungerar det

    Läs ett avsnitt i taget. Skriv gärna av beräkningarna och följ varje mellanled.

    2.1Utfall och händelser

    Ett utfall är ett möjligt resultat, till exempel 4 vid ett tärningskast. En händelse är en samling utfall, till exempel ”jämnt tal”. Gynnsamma utfall är de som uppfyller händelsen. Om alla utfall är lika sannolika är sannolikheten antal gynnsamma delat med antal möjliga.

    En sannolikhet ligger mellan 0 och 1, alltså mellan 0 % och 100 %. Komplementhändelsen är att händelsen inte inträffar. Därför är P(inte A) = 1 − P(A).

    Oberoende händelser påverkar inte varandras sannolikhet, till exempel kast med en vanlig tärning. Multiplicera sannolikheterna för att båda ska inträffa. Vid dragning utan återläggning ändras innehållet efter första dragningen, så nästa sannolikhet måste räknas om.

    2.2Flera steg och kombinationer

    Ett träddiagram förgrenar varje möjligt steg. Skriv sannolikheten på varje gren. Multiplicera längs en väg och addera olika, ömsesidigt uteslutande vägar som ger den sökta händelsen. För två rättvisa myntkast ser trädet ut så här (K = krona, L = klave):

    En kombination är ett urval där ordningen inte spelar roll. Väljer du två av fyra personer finns först 4 · 3 = 12 ordnade val. Varje par räknas två gånger, så antalet kombinationer är 122\frac{12}{2} = 6.

    Start
├─ K (1/2)
│  ├─ K (1/2) → KK: 1/4
│  └─ L (1/2) → KL: 1/4
└─ L (1/2)
   ├─ K (1/2) → LK: 1/4
   └─ L (1/2) → LL: 1/4

    Steg 3 · Följ lösta exempel

    Övningsexempel

    Egna exempel som visar hur du kan tänka, ett steg i taget.

    Övningsexempel 1

    Vad är sannolikheten för minst en sexa vid två oberoende tärningskast?

    1. Steg 1: Komplementet är ingen sexa. Ett kast ger inte sexa med sannolikheten 56.\frac{5}{6.}
    2. Steg 2: Ingen sexa i två kast: (56\frac{5}{6}) · (56\frac{5}{6}) = 2536.\frac{25}{36.}
    3. Steg 3: Minst en sexa: 1 − 2536\frac{25}{36} = 1136.\frac{11}{36.}

    Övningsexempel 2

    En påse innehåller 3 röda och 2 blå kulor. Två dras utan återläggning. Vad är sannolikheten att båda är röda?

    1. Steg 1: Första kulan är röd med sannolikheten 35.\frac{3}{5.}
    2. Steg 2: Efter en röd finns 2 röda av totalt 4 kvar. Andra sannolikheten är 24.\frac{2}{4.}
    3. Steg 3: Multiplicera längs vägen röd–röd: (35\frac{3}{5}) · (24\frac{2}{4}) = 620\frac{6}{20} = 310\frac{3}{10} = 30 %.

    Viktiga regler och formler

    • P(A) = gynnsamma utfallm\frac{utfall}{m}öjliga utfall, om utfallen är lika sannolika
    • P(inte A) = 1 − P(A)
    • P(A och B) = P(A) · P(B) vid oberoende; annars används sannolikheten för B efter A.
    • Antal par ur n olika objekt = n(n−1)2\frac{\left(n - 1\right)}{2}

    Nybörjartips

    Vid ”minst en” är det ofta enklare att börja med ”ingen”.

    Vanliga misstag

    • Gynnsammam\frac{Gynnsamma}{m}öjliga fungerar direkt bara om utfallen är lika sannolika.
    • Vid dragning utan återläggning ändras både antalet kulor och färgfördelningen.

    Ta med dig

    Multiplicera längs vägar och addera alternativa vägar. Kontrollera om händelserna är oberoende.

    Steg 4 · Prova själv

    Kontrollfrågor

    Försök först på egen hand. Visa sedan svaret och jämför hur du tänkte.

    1.Vad är sannolikheten för jämnt tal på en vanlig sexsidig tärning?

    Visa svar och förklaring på kontrollfråga 1

    Utfallen 2, 4 och 6 är gynnsamma: 36\frac{3}{6} = 12.\frac{1}{2.}

    2.Hur många olika par kan väljas bland 5 personer?

    Visa svar och förklaring på kontrollfråga 2

    5 · 42\frac{4}{2} = 10 par.

    Dags att använda det du lärt dig

    Ta nästa steg i sannolikhet med övningar i området.

    Öva på sannolikhet